2008年03月12日（水曜日）
【算数】 球とボール
2006年の12/27に、「円錐と球を足すと円柱になる」という話を書いた（異様に反響があった）。覚えているだろうか。半径と高さが同じならば、円錐と球と円柱の体積比は1：2：3になる。今回も似た話かも……。
半球の形をしたボール（キッチンにある器）に水を満たす。その水の中にぎりぎり沈められる球がある。この球を沈めると、水が溢れてこぼれる。
もう少しわかりやすく書くと、球の半径がrならば、ボールの半径は2r。これで計算ができる。球の体積は、4πr3/3。半径が2倍のボールの容積は、球の8倍の半分（半球なので）だから、4倍である。つまり、16πr3/3だ。こぼれる水の量は、球の体積と同じだから、ボールの中に残っている水は、最初にあった量の3/4に相当する12πr3/3、すなわち4πr3となる。分母が消えてすっきりした。これは、ボールと同じ半径2rで、高さがrの円柱の体積に等しい。もちろん、球の3倍である。
もう1つ同じ球を入れると、こぼれる水の量がちょうど半分になるが、残念ながら球が物理的に水に入らない。そこで、大きさ（直径）が半分の球を（体積が同じになるよう）8個用意して、これらを水に沈めてみよう（中央に最初の球が1個あるところへ、小さい8個を加える）。さて、沈められるかな？
ミスリーディングし、予想外の方向へトリッキィに出題する例である。けっこう難しいと思う。いつものように、答は各自で噛み締めよう。メールと掲示板への書き込みは禁止。