2006年06月10日（土曜日）
【算数】 13個の玉
同じ大きさで見た目も同じ玉が13個ある。ただ、この中に１つだけ、重さが異なる玉がある。ほかの12個は同じ重さだ。さて、天秤を３回だけ使って、その違う重さの１つを発見する方法を考えよ。
この問題はよく知られているものだが、少々難しいので、玉の数が12個になっていたり、9個になっているものをときどき見かける。14個あると、3回ではできない。
数学では、「幸運」というファクタが入り込まないので、このような問題で「3回でできる」と表現されるのは、「どんなことがあっても確実に3回で発見できる」方法であることを示している。
たとえば、天秤の両側に6個ずつ玉をのせて、それが釣り合ったとすると、ただの１回で、天秤にのせなかった玉が重さ違いであると発見できるが、そういった幸運を期待してはいけない。
基本的なことを考えよう。玉が３個だったときは、どうするのか。とりあえず１つずつを天秤の両側にのせてみる。釣り合えば、のせなかった１つだとわかる（この時点で重いか軽いかはわからないが、正常なものと比べればそれも判明する）。釣り合わなかったときは、片方を取り替えれば良い。結局、２回で、異常な玉が見つかるし、それが重いか軽いかも判明する。
このような問題が成立する背景には、「異常な玉はただ１つである」という情報が得られているためだ。このようなことは実際にはちょっとありえない。しかも、現実には、どの玉も微妙に重さが違い、異常な玉だけが許容量を超えている、という場合が普通である。それでも、「天秤が3回だけしか使えない」という条件もまずありえないので、解決できないことはないだろう。